이론적 기반

단 하나의 계산이 시작되기 전에, 우리의 탐색이 헛된 것이 아님을 확신해야 합니다. 우리는 다음부터 시작합니다: 초기값 문제 (IVP):

$$y' = f(t, y), \quad y(t_0) = y_0$$

정리 2.4.2 주어진 문제에 대해 $t_0$ 근처의 어떤 구간에서 유일한 해 $y = \phi(t)$가 존재한다고 말합니다. 이 보장은 우리가 수치적으로 탐구하는 것을 정당화하며, 만약 해가 존재하지 않거나 유일하지 않다면, 알고리즘이 비합리적인 결과로 수렴하거나 완전히 발산할 수 있습니다.

적분의 연결고리

대부분의 수치적 방법은 미적분학 기본정리로부터 유도된 동일한 수학적 특성을 공유합니다. 우리는 해 $\phi(t)$의 한 점에서 다음 점으로의 진화를 정확한 식으로 표현할 수 있습니다:

$$\phi(t_{n+1}) - \phi(t_n) = \int_{t_n}^{t_{n+1}} \phi'(t) dt$$

미분방정식 $\phi'(t) = f(t, \phi(t))$를 대입함으로써, 우리는 다음을 얻습니다: 재구성 공식:

$$\phi(t_{n+1}) = \phi(t_n) + \int_{t_n}^{t_{n+1}} f(t, \phi(t)) dt$$

연속에서 이산으로

컴퓨터는 알려지지 않은 함수 $\phi(t)$의 적분을 평가할 수 없습니다. 따라서 우리는 이산화. 가장 단순한 경우, 우리는 $f(t, \phi(t))$ 아래의 면적을 너비 $h = t_{n+1} - t_n$와 시작점 $f(t_n, y_n)$에서의 높이를 갖는 사각형으로 근사합니다. 곡선적 적분에서 채워진 사각형(그림 8.1.1 참조)으로의 이러한 전환은 오일러 공식: